Question

已知圓C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（1）若圓C的切線在x軸和y軸上截距相等，求切線的方程；
（2）若為圓C上任意一點，求的最大值與最小值；
（3）從圓C外一點P（x，y）向圓引切線PM，M為切點，O為坐標原點，且有|PM|=|PO|，求當|PM|最小時的點P的坐標。

Answer 1

（1）或；或，或；（2）最大值為-1，最小值為-7．；（3）當y=即P（）時，|PM|最小．

解析試題分析：（1）當截距為0時，設出切線方程為y=kx，同理列出關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，得到切線的方程；當截距不為零時，根據圓C的切線在x軸和y軸的截距相等，設出切線方程x+y=b，然后利用點到直線的距離公式求出圓心到切線的距離d，讓d等于圓的半徑r，列出關于b的方程，求出方程的解即可得到b的值，得到切線的方程；（2）設，則表示直線MA的斜率；其中A（1，-2）是定點；因為在圓C上，所以圓C與直線MA有公共點，而直線MA方程為：y+2=(x-1)，則有：C點到直線MA的距離不大于圓C的半徑，即：，解得：，即可求出的最大值為和最小值；（3）根據圓切線垂直于過切點的半徑，得到三角形CPM為直角三角形，根據勾股定理表示出點P的軌跡方程，由軌跡方程得到動點P的軌跡為一條直線，所以|PM|的最小值就是|PO|的最小值，求出原點到P軌跡方程的距離即為|PO|的最小值，然后利用兩點間的距離公式表示出P到O的距離，把P代入動點的軌跡方程，兩者聯立即可此時P的坐標．
解：圓C的方程為：（x+1）²+（y-2）²=2
（1）圓C的切線在x軸和y軸上截距相等時，切線過原點或切線的斜率為；
當切線過原點時，設切線方程為：y=kx，相切則：，得；
當切線的斜率為時，設切線方程為：y=-x+b，由相切得：，
得b=1或b=5;故所求切線方程為：或；或，或
（2）設，則表示直線MA的斜率；其中A（1，-2）是定點；
因為在圓C上，所以圓C與直線MA有公共點，
而直線MA方程為：y+2=(x-1)，則有：C點到直線MA的距離不大于圓C的半徑
即：，解得：，即的最大值為-1，最小值為-7．
（3）由圓的切線長公式得|PM|²=|PC|²-R²=（x+1）²+（y-2）²-2;
由|PM|=|PO|得：（x+1）²+（y-2）²-2=x²+y²;即2x-4y+3=0， 即x=2y-
此時|PM|=|PO|=
所以當y=即P（）時，|PM|最小．
考點：1．直線的方程；2．直線與圓的位置關系．