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【題目】已知 .

（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）證明：當時，恒成立.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）求出，分四種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）令，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得時，，時，，∴時，，從而可得結(jié)論.

試題解析：（1）易得定義域為，

，解得或.

當時，∵，∴，

解得，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為；

當時，

i.若，即時，時，，

時，，時，，

∴的單調(diào)遞減區(qū)間為；

ii.若，即時，時，恒成立，

沒有單調(diào)遞減區(qū)間；

iii.若，即時，時，；時，，

時，，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為.

綜上：時，單調(diào)遞減區(qū)間為；時，單調(diào)遞減區(qū)間為；

時，無單調(diào)遞減區(qū)間；時，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）令，

則

令，，

時，，時，，

∴時，，即時，恒成立.

解得或，時，，時，

，∴時，，得證.

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年齡	[20,25)	[25,30)	[30,35)	[35,40)	[40,45)
人數(shù)	4	5	8	5	3
年齡	[45,50)	[50,55)	[55,60)	[60,65)	[65,70)
人數(shù)	6	7	3	5	4

經(jīng)調(diào)查年齡在［25,30),[55,60）的被調(diào)查者中贊成“延遲退休”的人數(shù)分別是3人和2人.現(xiàn)從這兩組的被調(diào)查者中各隨機選取2人，進行跟蹤調(diào)查．

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