Question

【題目】如圖所示,已知點P在正方體ABCD-A′B′C′D′的對角線BD′上,∠PDA=60°.

(1)求DP與CC′所成角的大小.

(2)求DP與平面AA′D′D所成角的大小.

Answer 1

【答案】（1）45°.（2）30°.

【解析】

（1）以D為原點,DA,DC,DD′分別為x軸,y軸,z軸正方向建立空間直角坐標系，連接BD,B′D′.在平面BB′D′D中,延長DP交B′D′于H. 設=(m,m,1)(m>0), 由<,>=60°,利用坐標運算可得m，進而可得cos<,>，從而得解；

（2）平面AA′D′D的一個法向量是=(0,1,0),由cos<,>即可得解.

(1)如圖所示,以D為原點,DA,DC,DD′分別為x軸,y軸,z軸正方向建立空間直角坐標系,

設DA=1.則=(1,0,0),=(0,0,1).連接BD,B′D′.在平面BB′D′D中,延長DP交B′D′于H.

設=(m,m,1)(m>0),

由已知<,>=60°,由·=||||cos<,>,可得2m=.解得m=,

所以=.

因為cos<,>==

所以<,>=45°,即DP與CC′所成的角為45°.

(2)平面AA′D′D的一個法向量是=(0,1,0),

因為cos<,>==

所以<,>=60°,可得DP與平面AA′D′D所成的角為30°.