【題目】已知函數(shù)
.
（1）若
在
上是減函數(shù)，求
的取值范圍；
（2）設(shè)
，
，若函數(shù)
有且只有一個零點，求實數(shù)
的取值范圍.
【答案】(1) 
(2) 
【解析】
(1)由題意結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義得到關(guān)于a的表達式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定
的取值范圍即可；
(2)利用換元法將原問題轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布問題，然后求解實數(shù)
的取值范圍即可.
（1）由題設(shè)，若
在
上是減函數(shù)，
則任取
，
，且
，都有
，即
成立.
∵
.
又
在
上是增函數(shù)，且
，
∴由，得
，
即
，且
.
∴只須
，解
.
由，，且，知
，
∴
，即
，
∴
.
所以在上是減函數(shù)，實數(shù)的取值范圍是
.
（2）由題知方程
有且只有一個實數(shù)根，
令
，則關(guān)于
的方程
有且只有一個正根.
若
，則
，不符合題意，舍去；
若
，則方程
兩根異號或有兩個相等的正根.
方程兩根異號等價于
解得
；
方程有兩個相等的正根等價于
解得
；
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為
.
名校課堂系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某校共有高一、高二、高三學生共有1290人，其中高一480人，高二比高三多30人．為了解該校學生健康狀況，現(xiàn)采用分層抽樣方法進行調(diào)查，在抽取的樣本中有高一學生96人，則該樣本中的高三學生人數(shù)為 78 ．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
（1）若直線
與曲線
相切，求
的值；
（2）若函數(shù)
在
上不單調(diào)，且函數(shù)
有三個零點，求的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】下列說法錯誤的是（ ）
A. 線性回歸直線
至少經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點中的一個點
B. 在統(tǒng)計學中，獨立性檢驗是檢驗兩個分類變量是否有關(guān)系的一種統(tǒng)計方法
C. 在回歸分析中，相關(guān)指數(shù)
越大，模擬的效果越好
D. 在殘差圖中，殘差分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模擬的效果越好
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某工廠生產(chǎn)不同規(guī)格的一種產(chǎn)品，根據(jù)檢測標準，其合格產(chǎn)品的質(zhì)量
與尺寸
之間滿足關(guān)系式
（
為大于0的常數(shù)），現(xiàn)隨機抽取6件合格產(chǎn)品，測得數(shù)據(jù)如下：
尺寸 | 38 | 48 | 58 | 68 | 78 | 88 |
質(zhì)量 | 16.8 | 18.8 | 20.7 | 22.4 | 24 | 25.5 |
（1）求
關(guān)于
的回歸方程；（提示：
與
有線性相關(guān)關(guān)系）
（2）按照某項指標測定，當產(chǎn)品質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間
內(nèi)時為優(yōu)等品，現(xiàn)從抽取的6件合格產(chǎn)品再任選3件，求恰好取得兩件優(yōu)等品的概率.
參考數(shù)據(jù)及公式：
，
，
，
對于樣本
（
），其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：
，
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】將邊長為1的正方形
沿對角線
折起，使得平面
平面
，在折起后形成的三棱錐
中，給出下列三種說法：
①
是等邊三角形；②
；③三棱錐的體積是
.
其中正確的序號是__________（寫出所有正確說法的序號）.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
的定義域為
，且對任意的
有
. 當
時，
，
.
（1）求
并證明的奇偶性；
（2）判斷的單調(diào)性并證明；
（3）求
；若
對任意
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍.
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