Question

當a＞0時，函數f（x）=a^x+

x-2

x+1

在（-1，+∞）是增函數，用反證法證明方程a^x+

x-2

x+1

=0沒有負數根．

Answer 1

證明：假設f（x）=0 有負根 x₀，且 x₀≠-1，即 f（x₀）=0．
根據f（0）=1+

0-2

1+0

=-1，可得 f（x₀）＞f（0）①． 
若-1＜x₀＜0，由函數f（x）=a^x+

x-2

x+1

在（-1，+∞）是增函數，可得f（x₀）＜f（0）=-1，這與①矛盾．
若x₀＜-1，則 ax0＞0，x₀-2＜0，x₀+1＜0，∴f（x₀）＞0，這也與①矛盾．
故假設不正確．∴方程 a^x+

x-2

x+1

=0 沒有負根．