Question

已知函數f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（1）當a＞0時，函數f（x）滿足f（x）_極小值=1，f（x）_極大值=

31

27

，試求y=f（x）的解析式；
（2）當x∈[0，1]時，設f（x）圖象上任意一點處的切線的傾斜角為θ，若a∈[

3

2

，

3

]且a為常數，求θ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導函數，確定函數的單調性，再利用f（x）_極小值=1，f（x）_極大值=

31

27

，建立方程，從而可求y=f（x）的解析式；
（2）先求導函數，根據a∈[

3

2

，

3

]，可確定斜率的范圍，從而可確定傾斜角θ的取值范圍．

解答：解：（1）由f′（x）=-3x²+2ax（a＞0），
令f′（x）=0，得x=0或x=

2

3

a．…（1分）
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，0）	0	（0， 2 3 a）	2 3 a	（ 2 3 a，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	b	↗	f（ 2 3 a）	↘

∴當x=0時，f（x）_極小值=f（0）=b=1，當x=

2

3

a時，f（x）_極大值=-

8

27

a3+

4

9

a3+1=

31

27

，…（4分）
解得b=1，a=1．
∴f（x）=-x³+x²+1．…（6分）
（2）tanθ=f′（x）=-3x²+2ax=-3(x-

a

3

)2+

a2

3

，…（7分）
∵a∈[

3

2

，

3

]，
∴

1

2

≤

a

3

≤

3

3

．
∵x∈[0，1]，
∴f′（0）≤f′（x）≤f′（

a

3

）．…（10分）
∴0≤f′（x）≤

a2

3

，即0≤tanθ≤

a2

3

，
∵0≤θ≤π，∴θ∈[0，arctan

a2

3

]，
∴θ的取值范圍是[0，arctan

a2

3

]．…（12分）

點評：本題主要考查了導數的運用，考查函數的極值，導數的幾何意義，解題的關鍵是明確導數的幾何意義．