Question

（2012•洛陽一模）如圖，已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為

3

2

，且經過點M（2，1），直線AB平行于OM，且交橢圓于A，B兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）求直線AB在y軸上截距的取值范圍；
（3）記直線MA，MB斜率分別為k₁，k₂．試問k₁+k₂是否為定值？若是，求出k₁+k₂的值，否則，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設出橢圓方程，利用橢圓的離心率為

3

2

，且經過點M（2，1），可得方程組，求出幾何量，即可求得橢圓的方程；
（2）設出直線AB的方程，代入橢圓方程，利用判別式，即可求直線AB在y軸上截距的取值范圍；
（3）利用韋達定理，結合直線的斜率公式，化簡即可得到結論．

解答：解：（1）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
∵橢圓的離心率為

3

2

，且經過點M（2，1），
∴

a2-b2 a2 = 3 4 4 a2 + 1 b2 =1

∴a²=8，b²=2
∴橢圓方程為

x2

8

+

y2

2

=1；
（2）∵直線AB∥OM，kOM=

1

2

，∴可設直線AB的方程為y=

1

2

x+m
代入橢圓方程，可得x²+2mx+2m²-4=0
∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0
∴-2＜m＜2
當m=0時，x=±2，這與直線AB∥OM相矛盾，∴m≠0
∴直線AB在y軸上截距的取值范圍是（-2，0）∪（0，2）；
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則k1=

y1-1

x1-2

，k2=

y2-1

x2-2

，
由x²+2mx+2m²-4=0，可得x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4，
∴k₁+k₂=

2m2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4-2m2+4m-4m+4

(x1-2)(x2-2)

=0
即k₁+k₂為定值0．

點評：本題考查橢圓的標準方程、橢圓的簡單性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．