Question

已知函數（為常數，為自然對數的底）

（1）當時，求的單調區間；

（2）若函數在上無零點，求的最小值；

（3）若對任意的，在上存在兩個不同的使得成立，求的取值范圍．

 

Answer 1

（1）的減區間為，增區間為；

（2）的最小值為；

（3）．

【解析】

試題分析：（1）把代入到中求出，令求出的范圍即為函數的增區間，令，求出的范圍即為函數的減區間；（2）時不可能恒成立，所以要使得函數在上無零點，只需要對時，恒成立，列出不等式解出大于一個函數，利用導數得到函數的單調性，根據函數的增減性得到這個函數的最大值即可得到的最小值；（3）求出，根據導函數的正負得到函數的單調區間，即可求出的值域，而當時不合題意；當時，求出時的值，根據列出關于的不等式得到①，并根據此時的的值討論導函數的正負得到函數的單調區間，根據單調區間得到②和③，令②中不等式的坐標為一個函數，求出此函數的導函數，討論導函數的正負得到函數的單調區間，根據函數的增減性得到此函數的最大值，即可解出②恒成立和解出③得到④，聯立①和④即可解出滿足題意的取值范圍．

試題解析：（1）時，

由得；得．

故的減區間為，增區間為．

（2）因為在上恒成立不可能，

故要使在上無零點，只要對任意的，恒成立

即時，．

令

則

再令

于是在上為減函數

故

在上恒成立

在上為增函數

在上恒成立

又

故要使恒成立，只要

若函數在上無零點，的最小值為．

（3）

當時，，為增函數；

當時，，為減函數．

函數在上的值域為

當時，不合題意；

當時，．

故．

①

此時，當變化時，，的變化情況如下

	—	0	+
	↘	最小值	↗

 

時，，

任意定的，在區間上存在兩個不同的

使得成立，

當且僅當滿足下列條件

即 ②

即 ③

令

令得

當時， 函數為增函數

當時， 函數為減函數

所以在任取時有

即②式對恒成立

由③解得 ④

由①④ 當時，

對任意，在上存在兩個不同的使成立．

考點：利用導數研究函數的單調性；利用導數求閉區間上的最值．