Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是邊長為2的正三角形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是
CC₁，BB₁上的點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AC上的動點(diǎn)，EC=2FB=2．
（1）當(dāng)點(diǎn)M在何位置時(shí)，BM∥平面AEF；
（2）當(dāng)點(diǎn)M在AC中點(diǎn)時(shí)，求 異面直線BM與EF所成的角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）因?yàn)镋C=2FB，所以容易想到取EC中點(diǎn)N，并且使M是AC中點(diǎn)，連接MN，BN，便可得到MN∥AE，BN∥EF，所以根據(jù)線面平行和面面平行的判定定理即可得出平面BMN∥平面AEF，所以得到BM∥平面AEF．所以便得出當(dāng)M在AC中點(diǎn)時(shí)，BM∥平面AEF．
（2）由（1）可得異面直線BM與EF所成的角為∠MBN，利用余弦定理求它的余弦值．

解答： （1）解：M為AC中點(diǎn)時(shí)BM∥平面AEF，證明如下：
如圖，取EC的中點(diǎn)N，連接MN，BN；

∵M(jìn)、N分別為AC、EC中點(diǎn)，∴MN∥AE，AE?平面AEF，MN?平面AEF；
∴MN∥平面AEF；
∵EC=2FB，∴EN=FB，且EN∥FB；
∴四邊形BFEN為平行四邊形，∴BN∥EF，EF?平面AEF，BN?平面AEF；
∴BN∥平面AEF，MN∩BN=N；
∴平面BMN∥平面AEF，BM?平面BMN；
∴BM∥平面AEF．
（2）由（1）得異面直線BM與EF所成的角為∠MBN，
其中BM=

3

，BN=

BC2+CN2

=

5

，CM=1，MN=

2

，
所以cos∠MBN=

BM2+BN2-NM2

2BM×BN

=

3+5-2

2 3 × 5

=

15

5

；
所以異面直線BM與EF所成的角的余弦值

15

5

；------（12分）

點(diǎn)評：本題考查了直三棱柱中線面平行的判定以及異面直線所成的角的求法，重點(diǎn)體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，經(jīng)常考查．