Question

如圖，邊長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是棱A₁D₁，B₁C₁的中點．
（Ⅰ）求異面直線AE與FC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求直線AC₁與平面B₁BCC₁所成角的正切值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：（1）因為E、F分別是棱A₁D₁，B₁C₁的中點，連接BF，則BF∥AE，所以∠BFC為異面直線AE與FC所成角，利用余弦定理求余弦值；
（2）因為AB⊥平面B₁BCC₁，所以∠AC₁B為直線AC₁與平面B₁BCC₁所成角．

解答： 解：（1）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是棱A₁D₁，B₁C₁的中點．連接BF，則EF∥AB，所以BF∥AE，所以∠BFC為異面直線AE與FC所成角，
cos∠BFC=

BF2+CF2-BC2

2BF×CF

=

5+5-4

2 5 × 5

=

3

5

，
所以異面直線AE與FC所成角的余弦值為

3

5

．
（2）因為AB⊥平面B₁BCC₁，所以∠AC₁B為直線AC₁與平面B₁BCC₁所成角，tan∠AC₁B=

AB

BC1

=

2

2 2

=

2

2

；
直線AC₁與平面B₁BCC₁所成角的正切值

2

2

．

點評：本題考查異面直線所成的角以及線面角的求法，考查學生分析解決問題、轉化的能力，屬于中檔題．