Question

已知函數f（x）滿足：①當0≤x≤2時，f（x）=（x-1）²，②?x∈[0，8]，f（x-

1

2

）=f（x+

3

2

）．若方程f（x）=Mlog₂x在[0，8]上有偶數個根，則正數M的取值范圍是（　　）

• A、0＜M≤

  1

  3

• B、0＜M≤

  1

  3

  或M=1或2
• C、0＜M≤

  1

  3

  或M=1或

  1

  2

• D、0＜M≤

  1

  3

  或M=1或

  1

  2

  或log₆2

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數判斷,函數的零點與方程根的關系

專題：函數的性質及應用

分析：函數f（x）和y=Mlog₂x的圖象交點個數，即方程f（x）=Mlog₂x在[0，8]上根的個數，結合已知分析函數f（x）的圖象和性質，分類討論并數形結合，可得答案．

解答： 解：∵?x∈[0，8]，f（x-

1

2

）=f（x+

3

2

）．
∴?x∈[0，8]，f（x）=f（x+2），即在[0，8]上函數以2為周期，呈周期性變化，
由當0≤x≤2時，f（x）=（x-1）²，可得：
函數f（x）在[0，8]上圖象如下圖所示：

當0＜M≤

1

3

時，函數f（x）和y=Mlog₂x的圖象如下圖所示：

此時兩個函數圖象共有8個交點，即方程f（x）=Mlog₂x在[0，8]上有8個根，滿足條件；
同理：
當

1

3

＜M＜log₆2時，函數f（x）和y=Mlog₂x的圖象有7個交點，即方程f（x）=Mlog₂x在[0，8]上有7個根，不滿足條件；
當M=log₆2時，函數f（x）和y=Mlog₂x的圖象有6個交點，即方程f（x）=Mlog₂x在[0，8]上有6個根，滿足條件；
當log₆2＜M＜

1

2

時，函數f（x）和y=Mlog₂x的圖象有5個交點，即方程f（x）=Mlog₂x在[0，8]上有5個根，不滿足條件；
當M=

1

2

時，函數f（x）和y=Mlog₂x的圖象有4個交點，即方程f（x）=Mlog₂x在[0，8]上有4個根，滿足條件；
當

1

2

＜M＜1時，函數f（x）和y=Mlog₂x的圖象有3個交點，即方程f（x）=Mlog₂x在[0，8]上有3個根，不滿足條件；
當M=1時，函數f（x）和y=Mlog₂x的圖象有2個交點，即方程f（x）=Mlog₂x在[0，8]上有2個根，滿足條件；
當M＞1時，函數f（x）和y=Mlog₂x的圖象有1個交點，即方程f（x）=Mlog₂x在[0，8]上有1個根，不滿足條件；
綜上，滿足條件的正數M的取值范圍是0＜M≤

1

3

或M=1或

1

2

或log₆2，
故選：D

點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，函數的零點與方程根的關系，函數的周期性，函數的伸縮變換，是函數圖象與性質是綜合應用，屬于難題．