Question

已知橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，F₁，F₂分別為橢圓的左右焦點，線段PQ是橢圓過點F₂的弦，則△PF₁Q內切圓面積的最大值為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：根據三角形內切圓的半徑與三角形周長的乘積是面積的2倍，且△F₁PQ的周長是定值8，可知求出△F₁PQ面積的最大值即可．

解答： 解：因為三角形內切圓的半徑與三角形周長的乘積是面積的2倍，且△F₁PQ的周長是定值8，所以只需求出△F₁PQ面積的最大值．
設直線l方程為x=my+1，與橢圓方程聯立得（3m²+4）y²+6my-9=0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則y₁+y₂=-

6m

3m2+4

，y₁y₂=-

9

3m2+4

，
于是S_△F1PQ=

1

2

|F₁F₂|•|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=12

m2+1 (3m2+4)2

．
∵

m2+1

(3m2+4)2

=

1

9m2+9+ 1 m2+1 +6

≤

1

16

，
∴S_△F1PQ≤3
所以內切圓半徑r=

2S△F1PQ

8

≤

3

4

，
因此其面積最大值是

9

16

．
故答案為：

9

16

．

點評：本題以橢圓為載體，考查直線與橢圓的位置關系，考查面積的最值，解題的關鍵是轉化為求△F₁PQ面積的最大值．