Question

13．已知函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}（a-1）x+3a-4，x≤0\\{a^x}，x＞0\end{array}\right.$對于任意的x₁，x₂∈R，都滿足條件$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}＞0（{x_1}≠{x_2}）$成立，則a的取值范圍是$1＜a≤\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 若對于任意的x₁，x₂∈R，都滿足條件$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}＞0（{x_1}≠{x_2}）$成立，則函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}（a-1）x+3a-4，x≤0\\{a^x}，x＞0\end{array}\right.$在R上為增函數，里面可得答案．

解答 解：若對于任意的x₁，x₂∈R，都滿足條件$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}＞0（{x_1}≠{x_2}）$成立，
則函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}（a-1）x+3a-4，x≤0\\{a^x}，x＞0\end{array}\right.$在R上為增函數，
故$\left\{\begin{array}{l}a-1＞0\\ a＞1\\ 3a-4≤1\end{array}\right.$，
解得：$1＜a≤\frac{5}{3}$，
故答案為：$1＜a≤\frac{5}{3}$

點評 本題考查的知識點是恒成立問題，分段函數的單調性，難度中檔．