Question

18．已知直線l₁：y=kx-1與雙曲線x²-y²=1的左支交于A、B兩點．
（1）求斜率k的取值范圍；
（2）若直線l₂經過點P（-2，0）及線段AB的中點Q且l₂在y軸上截距為-16，求直線l₁的方程．

Answer 1

分析 （1）直線方程與雙曲線方程聯立得（1-k²）x²+2kx-2=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由直線l₁與雙曲線左支交于A，B兩點，可得$\left\{{\begin{array}{l}{△＞0}\\{{x_1}+{x_2}＜0}\\{{x_1}{x_2}＞0}\end{array}}\right.即\left\{{\begin{array}{l}{4{k^2}+8（{1-{k^2}}）＞0}\\{\frac{2k}{{{k^2}-1}}＜0}\\{\frac{2}{{{k^2}-1}}＞0}\end{array}}\right.$，解出即可得出．
（2）由已知得直線l₂的方程為：8x+y+16=0，設Q（x₀，y₀），利用中點坐標公式與根與系數的關系可得Q坐標，代入直線l₂的方程解出即可得出．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1-k²）x²+2kx-2=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x_1}+{x_2}=\frac{2k}{{{k^2}-1}}，{x_1}{x_2}=\frac{2}{{{k^2}-1}}$，
∵直線l₁與雙曲線左支交于A，B兩點，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{△＞0}\\{{x_1}+{x_2}＜0}\\{{x_1}{x_2}＞0}\end{array}}\right.即\left\{{\begin{array}{l}{4{k^2}+8（{1-{k^2}}）＞0}\\{\frac{2k}{{{k^2}-1}}＜0}\\{\frac{2}{{{k^2}-1}}＞0}\end{array}}\right.$
解得：$-\sqrt{2}＜k＜-1$．
（2）由已知得直線l₂的方程為：8x+y+16=0，設Q（x₀，y₀），
則${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{k}{{{k^2}-1}}，{y_0}=k{x_0}-1=\frac{1}{{{k^2}-1}}$，
∵Q在直線l₂，∴$\frac{8k}{{{k^2}-1}}+\frac{1}{{{k^2}-1}}+16=0$，化簡得：16k²+8k-15=0，
分解因式得：（4k+5）（4k-3）=0，
∴$k=-\frac{5}{4}或k=\frac{3}{4}$，
又∵$-\sqrt{2}＜k＜-1$，∴$k=-\frac{5}{4}$，
∴直線l₁的方程為：$y=-\frac{5}{4}x-1$．

點評 本題考查了直線與雙曲線相交問題、中點坐標公式、一元二次方程的根與系數的關系、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．