Question

證明3²ⁿ⁺²-8n-9能被64整除（n∈N₊）．

Answer 1

【答案】分析：3²ⁿ⁺²=9ⁿ⁺¹=（8+1）ⁿ⁺¹展開式中按照8的降冪排列，前邊的項均能被64整除，最后兩項為C_n+1¹8+1=8n+9，與原式中的-8n-9抵消，分析可得答案．
解答：證明：3²ⁿ⁺²-8n-9=9ⁿ⁺¹-8n-9=（8+1）ⁿ⁺¹-8n-9
=8ⁿ⁺¹+C_n+1¹•8ⁿ++C_n+1ⁿ•8+1-8n-9
=8ⁿ⁺¹+C_n+1¹•8ⁿ++C_n+1^n-1•8²
=8²（8^n-1+C_n+1¹•8^n-2++C_n+1^n-1）
∵8^n-1+C_n+1¹•8^n-2++C_n+1^n-1是整數，
∴3²ⁿ⁺²-8n-9能被64整除．
點評：本題考查二項式定理的應用：處理整除問題，屬基本題型的考查．