Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明3²ⁿ⁺²-8n-9(n∈N)能被64整除.

Answer 1

思路分析：數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)數(shù)或式的整除問題時(shí)，要充分利用整除的性質(zhì)，若干個(gè)數(shù)都能被某一個(gè)數(shù)整除，則其和、差、積也能被這個(gè)數(shù)整除.

證明：(Ⅰ)當(dāng)n=1時(shí)，3²+2-8×1-9=64顯然能被64整除，命題成立.

(Ⅱ)假設(shè)n=k（k≥1，k∈N）時(shí)命題成立.即3²k+2-8k-9能被64整除.

則當(dāng)n=k+1時(shí)，

3²（k+1）+2-8（k+1）-9=9·3²k+2-8k-8-9

=9（3²k+2-8k-9）+64k+64.

∵3²k+2-8k-9與64均能被64整除，

∴3²（k+1）+2-8（k+1）-9能被64整除.

即當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.

綜合(Ⅰ)(Ⅱ)，對(duì)一切n∈N，3²ⁿ⁺²-8n-9能被64整除.