Question

【題目】設函數（為自然對數的底數），， .

（1）若是的極值點，且直線分別與函數和的圖象交于，求兩點間的最短距離；

（2）若時，函數的圖象恒在的圖象上方，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）1（2）

【解析】試題分析：

(1)利用題意討論的性質可得求兩點間的最短距離為1

(2) 構造函數，求解導函數后分類討論：

故時恒成立.當時，不符合題意，

故符合條件的的取值范圍是.

試題解析：

（Ⅰ）因為，所以，因為是的極值點，所以， .

又當時，若， ，所以在上為增函數，所以，所以是的極小值點，所以符合題意，所以.令，即，因為，當時， ， ，所以，所以在上遞增，所以，∴時， 的最小值為，所以.

（Ⅱ）令，

則， ，因為當時恒成立，所以函數在上單調遞增，∴當時恒成立；

故函數在上單調遞增，所以在時恒成立.

當時， ， 在單調遞增，即.

故時恒成立.

當時，因為在單調遞增，所以總存在，使在區間上，導致在區間上單調遞減，而，所以當時， ，這與對恒成立矛盾，所以不符合題意，故符合條件的的取值范圍是.