Question

已知

π

2

＜β＜α＜

3π

4

，且cos（α-β）=

12

13

sin（α+β）=-

3

5

，求：cos2α的值．

Answer 1

分析：由α與β的范圍求出α-β與α+β的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sin（α-β）與cos（α+β）的值，所求式子角度變形后利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，將各自的值代入計算即可求出值．

解答：解：∵

π

2

＜β＜α＜

3π

4

，∴0＜α-β＜

π

2

，π＜α+β＜

3π

2

，
∵cos（α-β）=

12

13

，sin（α+β）=-

3

5

，
∴sin（α-β）=

1-( 12 13 )2

=

5

13

，cos（α+β）=-

1-(- 3 5 )2

=-

4

5

，
則cos2α=cos[（α-β）+（α+β）]=cos（α-β）cos（α+β）-sin（α-β）sin（α+β）=

12

13

×（-

4

5

）-（-

3

5

）×

5

13

=-

33

65

．

點評：此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，以及兩角和與差的余弦函數(shù)公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．