Question

函數f（x）=xlog₂x-3的零點所在區間為（k，k+1）（k∈Z），則k的值是

 

．

Answer 1

考點：函數零點的判定定理

專題：函數的性質及應用

分析：求f′（x），判斷函數f（x）取得最值的情況，以及取得零點的情況，及零點的個數，并且能夠得到函數f（x）只有一個零點，并且是在（2^-ln2，+∞）內．容易判斷f（2）＜0，f（3）＞0，所以零點在區間（2，3）內，所以根據已知f（x）在（k，k+1），k∈Z，內有零點，所以k=2．

解答： 解：f′（x）=ln2+log₂x，令f′（x）=0得，x=2^-ln2，且0＜2^-ln2＜1；
∴x∈（0，2^-ln2）時，f′（x）＜0，x∈（2^-ln2，+∞）時，f′（x）＞0；
∴f（x）在（0，2^-ln2）上單調遞減，在（2^-ln2，+∞）上單調遞增；
又x趨向于0時，log₂x＜0，x＞0，∴xlog₂x＜0，即函數f（x）在（0，2^-ln2）內不存在零點；
又∵f（2）=2-3＜0，f（3）=3log₂3-3＞0；
∴f（x）在區間（2，3）內存在一個零點，且在（2^-ln2，+∞）內只有一個零點；
由已知f（x）零點所在區間為（k，k+1），（k∈Z）；
∴k=2．
故答案為：2．

點評：考查通過判斷函數導數符號判斷函數單調性的方法，以及函數零點的概念，以及單調函數取得零點的情況．