Question

某化工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品的年固定成本為200萬(wàn)元，每生產(chǎn)1噸另投入12萬(wàn)元，設(shè)化工廠一年內(nèi)共生產(chǎn)該產(chǎn)品x噸并全部銷(xiāo)售完，每噸的銷(xiāo)售收入為R（x）萬(wàn)元，且R（x）=

112- 1 3 x2(0＜x≤15) 1230 x - 10800 x2+x (x＞15)

．
（Ⅰ）求年利潤(rùn)y（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（噸）的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）年產(chǎn)量為多少?lài)崟r(shí)，化工廠在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利最大？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意分0＜x≤15和當(dāng)x兩種情況得到y(tǒng)與x的分段函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）當(dāng)0＜x≤15時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)法求最大值，當(dāng)x＞15時(shí)，利用基本不等式來(lái)求L的最大值，再進(jìn)行比較，從而可得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)0＜x≤15時(shí)，y=100x-

1

3

x3-200
當(dāng)x＞15時(shí)，y=1030-(

10800

x+1

+12x)
∴y=

100x- 1 3 x3-200，(0＜x≤15) 1030-( 10800 x+1 +12x)，(x＞15)

（Ⅱ）當(dāng)0＜x≤15時(shí)，y′=100-x²=0，∴x=10
∴x=10時(shí)，ymax=

1400

3

當(dāng)x＞15時(shí)，y=1030-(

10800

x+1

+12x)=1042-[

10800

x+1

+12(x+1)]≤1042-720=322
當(dāng)且僅當(dāng)

10800

x+1

=12(x+1)，∴x=29，y_max=322
∵

1400

3

＞322，∴x=10時(shí)，取得最大值

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，函數(shù)的值域，分段函數(shù)的解析式求法，考查基本不等式的運(yùn)用．