Question

設a，b∈R，2a+b=1，則S=2

ab

-4a²-b²的最大值為（　　）

• A、

  2

  -1
• B、

  2 -1

  2

• C、

  2

  +1
• D、

  2 +1

  2

Answer 1

考點：函數的最值及其幾何意義

專題：函數的性質及應用

分析：由已知得ab＞0，且a+2b=1，所以a＞0，b＞0；因此可采用基本不等式將式子放大成關于（2a+b）的表達式的形式，然后將2a+b=1代入即可．

解答：解：由已知得ab＞0，且2a+b=1，所以a＞0，b＞0，
而原式可化為S=2

ab

-4a²-b²=

2

•

2ab

-(2a+b)2+2×2ab
=

2

×

2ab

+2×2ab-1①
又因為1=2a+b≥2

2ab

，所以

2ab

≤

1

2

，將

1

2

代入①式可得S的最大值為

2 -1

2

（當且僅當2a=b=

1

2

，即a=

1

4

，b=

1

2

時取等號）．
故選：B

點評：本題靈活考查了基本不等式的應用，要注意合理變形，使所求的式子出現2a+b或2ab的形式，注意等號成立的條件．