Question

平面內(nèi)有向量=(1,7),=(5,1),=(2,1),點(diǎn)X為直線OP上的一動(dòng)點(diǎn).

(1)當(dāng)·取最小時(shí),求的坐標(biāo);

(2)當(dāng)點(diǎn)X滿足(1)的條件和結(jié)論時(shí),求∠AXB的余弦值.

Answer 1

思路解析:此題主要考查向量的坐標(biāo)表示、共線向量的條件、二次函數(shù)的最值條件及向量的夾角的求法,是一道綜合性題目.要先設(shè)出的坐標(biāo)(x,y),注意向量的起點(diǎn)在原點(diǎn),也就是點(diǎn)X的坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)X為直線OP上的一動(dòng)點(diǎn)得出點(diǎn)X的兩坐標(biāo)的關(guān)系,再由·得出關(guān)于y的二次函數(shù),求出最小值時(shí)的y,進(jìn)而求得.在(1)的基礎(chǔ)上利用夾角公式可以求出∠AXB的余弦值.

解:(1)設(shè)=(x,y),∵點(diǎn)X在直線OP上,故與共線.又=(2,1),∴x-2y=0,即x=2y.∴=(2y,y).

又=-=(1-2y,7-y),=-=(5-2y,1-y),

∴·=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=5(y-2)²-8.

∴當(dāng)y=2時(shí),( ·)_min=-8,此時(shí)=(4,2).

(2)當(dāng)=(4,2)時(shí),=(-3,5),=(1,-1),||=,||=.

∴·=(-3)×1+5×(-1)=-8.

∴cos∠AXB==.