Question

平面內有向量=(1,7),=(5,1),=(2,1)，點X為直線OP上的一動點.

(1)當·取最小值時，求OX的坐標；

(2)當點X滿足(1)的條件和結論時，求cos∠AXB的值.

Answer 1

解：(1)設=(x,y)，因為點X在直線OP上，所以向量與共線.

又=(2,1)，所以x·1-y·2=0,x=2y.所以=(2y,y).

又且=(1,7)，所以=(1-2y,7-y).

同理，=(5-2y,1-y).

于是有·=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=5(y-2)²-8.

所以當y=2時，·=5(y-2)²-8有最小值-8，此時=(4,2).

(2)當=(4,2)，即y=2時，

有=(-3,5),=(1,-1),||=,||=,

·=-3×1+5×(-1)=-8.

所以cos∠AXB==.