Question

如圖所示，平面內有向量=(1，7)，=?(5，1)，=(2，1)，點M為直線OP上的一動點.

(1)當取最小值時，求的坐標；

(2)當點M滿足(1)的條件和結論時，求∠AMB的值.

Answer 1

思路分析：因為點M在直線OP上，向量與共線，可以得到關于OM坐標的一個關系式，再根據的最小值，求得，而cos∠AMB是向量與夾角的余弦，利用數量積的知識容易解決.

解：(1)設=(x，y)，∵點M在直線OP上，

∴向量與共線.

又=(2，1)，

∴x·1－y·2=0,即x=2y.∴=(2y，y).

又，=(1，7)，

∴=(1－2y，7－y).

同理=(5－2y，1－y).

于是=(1－2y)(5－2y)+(7－y)(1－y)=4y²－12y+5+y²－8y+7=5y²－20y+12.

由二次函數的知識，可知當時，有最小值－8，此時=?(4，2).

(2)當=(4，2)，即y=2時，有=(－3，5)，=(1，－1)，||=34，||=2，

=(－3)×1+5×(－1)=－8，

∴cos∠AMB=，

即∠AMB=arccos().

深化升華 對于向量與最值有關的問題，往往是先選取適當的變量，建立關于取定變量的目標關系式(或函數關系式)，通過求最值的基本方法求解.如轉化成二次函數，或三角函數問題等.也可以利用向量的幾何意義求最值.在求向量的夾角時，要注意兩個向量的方向性.