Question

【題目】已知函數(a為常數)的圖象與軸交于點，曲線在點處的切線斜率為

(1)求的值及函數的極值；

(2)證明：當時，

Answer 1

【答案】（1）當x＝ln2時，f(x)取得極小值，且極小值為f(ln2)＝2－ln4，f(x)無極大值．（2）見解析

【解析】試題分析：（1）首先求點的坐標，再根據，解得的值，然后求的值，以及兩側的單調性，根據單調性求得函數的極值；（2）設函數 ，根據（1）的結果可知函數單調遞增，即證.

試題解析：　(1)由f(x)＝ex－ax，得f′(x)＝ex－a. 又f′(0)＝1－a＝－1，得a＝2.

所以f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2. 令f′(x)＝0，得x＝ln2.

當x<ln2時，f′(x)<0，f(x)單調遞減；當x>ln2時，f′(x)>0，f(x)單調遞增．

所以當x＝ln2時，f(x)取得極小值，且極小值為f(ln2)＝eln2－2ln2＝2－ln4，f(x)無極大值．

(2)令g(x)＝ex－x2，則g′(x)＝ex－2x. 由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln2)>0，

故g(x)在R上單調遞增，又g(0)＝1>0，因此，當x>0時，g(x)>g(0)>0，即x2<ex.