Question

（本小題滿分14分）設曲線在點處的切線斜率為，且。對一切實數，不等式恒成立

（Ⅰ）求的值。

（Ⅱ）求函數的表達式；

（Ⅲ）求證：

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）詳見解析．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由對一切實數，不等式恒成立，令 即可；

（Ⅱ）由題意：，根據及恒成立建立關于的關系式即可確定的值進而得到函數的表達式；

（Ⅲ）由（Ⅱ）的結果知：

于是可利用，運用放縮法證明不等式成立；也可根據所證不等式的特點用數學歸納法證明．

試題解析：【解析】
（Ⅰ）由對一切實數，不等式恒成立

得 ， 3分

（Ⅱ）

由得 得 5分

又恒成立

則由恒成立得 7分

同理由恒成立得 8分

綜上， 9分

（Ⅲ） 10分

要證原不等式，即證： 11分

14分

注：第（Ⅲ）小題也可用數學歸納法證明。

考點：1、導數的幾何意義；2、函數解析式的求法；3、數列求和與不等式的證明．