Question

9．若函數f（x）=ax³-bx+4，當x=2時，函數f（x）有極值-$\frac{4}{3}$．
（1）求函數的解析式．
（2）判斷函數的極值點并求極大值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，得到關于a，b的方程組，解出即可；
（2）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可．

解答 解：（1）由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{f′（2）=12a-b=0}\\{f（2）=8a-2b+4=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$；
故函數的解析式是f（x）=$\frac{1}{3}$x³-4x+4；
（2）由（1）可得f′（x）=x²-4=（x-2）（x+2），
令f′（x）=0，得x=2或x=-2．
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	$\frac{28}{3}$	↘	-$\frac{4}{3}$	↗

因此，當x=-2時，f（x）有極大值$\frac{28}{3}$，
當x=2時，f（x）有極小值-$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．