Question

某水庫年初有水量a（a≥10000），其中含污染  物 p₀（設水與污染 物能很好的混合），當年的降水量與月份x的關系是f（x）=20-|x-7|（1≤x≤12，x∈N），而每月流入水庫的污水與蒸發的水量都為r，且污水含污染物p（p＜r），設當年水庫中的水不作它用．
（1）求第x月份水庫的含污比g（x）的表達式（含污比=

污染物

總庫容

）；
（2）當時p₀=0，求水質最差的月份及此月的含污比．

Answer 1

考點：根據實際問題選擇函數類型

專題：應用題,函數的性質及應用,等差數列與等比數列

分析：（1）分別求當1≤x≤6（x∈N）時，當7≤x≤12（x∈N）時的庫容總量，從而求g（x）=

2p0+2px x2+27x+2a ，1≤x≤6，x∈N 2p0+2px -x2+53x+2a-84 ，7≤x≤12，x∈N

；
（2）利用分段函數及分離常數法求函數的最大值及最大值點，即可得水質最差的月份及此月的含污比．

解答： 解：（1）第x月水庫含污染物 p₀+px；
庫容總量為：a+f（1）+f（2）+…+f（x）．
當1≤x≤6（x∈N）時，f（x）=13+x，
此時庫容總量為：a+14+15+…+（13+x）=a+

(14+13+x)x

2

=

x2+27x+2a

2

；
當7≤x≤12（x∈N）時，f（x）=27-x，
此時庫容總量為a+99+20+19+…+（27-x）=

-x2+53x+2a-84

2

；
（1≤x≤6，x∈N）（7≤x≤12，x∈N）
∴g（x）=

2p0+2px x2+27x+2a ，1≤x≤6，x∈N 2p0+2px -x2+53x+2a-84 ，7≤x≤12，x∈N

；
（2）當1≤x≤6 時，g（x）=

2p

x+ 2a x +27

，而y=（x+

2a

x

+27）在（0，

2

a）上是減函數，且恒大于零．
∴g（x）是增函數，
∴當x=6時，g_max（x）=

12p

198+2a

，
當7≤x≤12時，g（x）=

2p

-x+ 2a-84 x +53

，
易知g（x）是增函數．
∴當x=12時，g_max（x）=

12p

204+a

，
∵a＞10000，
∴

12p

204+a

＞

12p

198+2a

，
∴水質最差的是十二月份，其含污比為

12p

204+a

．

點評：本題考查了實際問題轉化為數學問題的能力及分段函數的應用，屬于中檔題．