Question

10．如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB=2，點M是SD的中點，AN⊥SC，且交SC于點N．
（Ⅰ） 求證：SB∥平面ACM； 
（Ⅱ） 求點C到平面AMN的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結BD交AC于E，連結ME，推導出ME∥SB，由此能證明SB∥平面ACM．
（Ⅱ）推導出CN為點C到平面AMN的距離，由此能求出點C到平面AMN的距離．

解答 證明：（Ⅰ）連結BD交AC于E，連結ME．
∵ABCD是正方形，∴E是BD的中點．
∵M是SD的中點，∴ME是△DSB的中位線．
∴ME∥SB．  …（3分）
又∵ME?平面ACM，SB?平面ACM，
∴SB∥平面ACM．  …（5分）
解：（Ⅱ）由條件有DC⊥SA，DC⊥DA，
∴DC⊥平面SAD，∴AM⊥DC．
又∵SA=AD，M是SD的中點，∴AM⊥SD．
∴AM⊥平面SDC．∴SC⊥AM．…（8分）
由已知SC⊥AN，∴SC⊥平面AMN．
于是CN⊥面AMN，則CN為點C到平面AMN的距離           …（9分）
在Rt△SAC中，$SA=2，AC=2\sqrt{2}，SC=\sqrt{S{A^2}+A{C^2}}=2\sqrt{3}$，
于是$A{C^2}=CN•SC⇒CN=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$
∴點C到平面AMN的距離為$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．  …（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查點到直線的距離求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．