Question

【題目】在圓上取一點，過點作軸的垂線段，為垂足，當點在圓上運動時，設線段中點的軌跡為.

（1）求的方程；

（2）試問在上是否存在兩點關于直線對稱，且以為直徑的圓恰好經過坐標原點？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）設，則點，將代入圓，可得的方程；（2）可判斷直線存在斜率，設直線的方程為，聯立，消去并整理得，設，利用根與系數可得，依題意，可得，即，化為，由的中點在直線上，可得，代入化簡解出即可.

（1）設，則點，

將代入圓，

可得

的方程為.

（2）顯然，直線存在斜率，設直線的方程為，

聯立，消去并整理得，

,化為，

設，

則，

依題意，可得，，

又，

，

，

解得，

由的中點在直線上，

，

，化為，

把代入化為，

解得（舍去）或，

，解得，

滿足，即滿足，

在上存在兩點關于直線對稱,且以為直徑的圓恰好經過坐標原點，直線的方程為.