Question

20．已知函數f（x）=a+$\frac{1}{4^x+1}$是奇函數．
（1）求實數a的值；   
（2）確定函數f（x）的單調性；    
（3）當x∈[-1，2）時，求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用已知函數為奇函數，并且定義域為R，所以f（0）=0，得到關于a的方程解之．
（2）直接利用函數單調性的定義證明；
（3）根據（2）的結論進行解答．

解答 解：（1）因為已知函數的定義域為R，并且是奇函數，
所以f（0）=0，即a+$\frac{1}{{4}^{0}+1}$=0，即$\frac{1}{2}$+a=0，
解得a=-$\frac{1}{2}$；
（2）設x₁，x₂為（-∞，+∞）上的任意兩個實數，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（a+$\frac{1}{{4}^{{x}_{1}}+1}$）-（a+$\frac{1}{{4}^{{x}_{2}}+1}$）=$\frac{{4}^{{x}_{2}}-{4}^{{x}_{1}}}{（{4}^{{x}_{1}}+1）（{4}^{{x}_{2}}+1）}$．
∵x₁＜x₂，
∴4${\;}^{{x}_{2}}$-4${\;}^{{x}_{1}}$＞0，
又（4${\;}^{{x}_{1}}$+1）（4${\;}^{{x}_{2}}$+1）＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{4}^{{x}_{2}}-{4}^{{x}_{1}}}{（{4}^{{x}_{1}}+1）（{4}^{{x}_{2}}+1）}$＞0．
∴f（x₁）＞f（x₂），即函數f（x）為（-∞，+∞）上的減函數；
（3）由（2）知，函數f（x）為（-∞，+∞）上的減函數；
則當x=-1時，f（x）_max=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{\frac{1}{4}+1}$=$\frac{3}{10}$，
當x=2時，f（x）_min=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{8+1}$=-$\frac{15}{34}$，
故函數f（x）的值域是（-$\frac{15}{34}$，$\frac{3}{10}$]．

點評 本題考查了函數奇偶性的判斷，函數單調性的判定與證明．判斷函數的奇偶性時，根據函數的奇偶性的定義是解決本題的關鍵．注意要先判斷函數的定義域是否關于原點對稱．