Question

將函數f（x）=sinx的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將所得圖象向左平移

π

4

個單位，所得函數為g（x）．
（1）求函數g（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（2）求函數g（x）在區間[

π

8

，

3π

4

]上的最小值和最大值，并求出取最值時x的值．

Answer 1

考點：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）首先根據函數的圖象變換求出g（x）的解析式，進一步求出函數的最小正周期和單調區間．
（2）根據（1）的結論，利用函數的定義域確定函數的值域

解答： 解：（1）函數f（x）=sinx的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將所得圖象向左平移

π

4

個單位，
則：g（x）=sin(

1

2

x+

π

8

)
所以：T=

2π

1 2

=4π
令：-

π

2

+2kπ≤

1

2

x+

π

8

≤

π

2

+2kπ（k∈Z）
解得：-

5π

4

+4kπ≤x≤

3π

4

+4kπ
函數的遞增區間為：x∈[-

5π

4

+4kπ，

3π

4

+4kπ]（k∈Z）
（2）由于：

π

8

≤x≤

3π

4

所以：

3π

16

≤

1

2

x+

π

8

≤

π

2

根據函數的單調性：當x=

π

4

時，函數取最大值f（x）_max=1
當x=

π

8

時，函數取最小值f(x)min=sin

3π

16

點評：本題考查的知識要點：正弦型函數的圖象變換問題，正弦型函數的周期和單調區間的應用，正弦型函數的最值，屬于基礎題型．