Question

已知命題p：方程ax²+2x+1=0至少有一負根；命題q：任意實數x∈R滿足不等式x²+2ax+1≥0，
（1）求命題p中a的范圍　
（2）若命題“p或q”為真，命題“p且q”為假時，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當a=0時，方程ax² +2x+1=0可化為方程2x+1=0，方程存在一個負根
當a≠0時，若關于x的二次方程ax² +2x+1=0有根
則△=4-4a≥0，即a≤1
若方程ax² +2x+1=0無負根則x₁ +x₂ =-≥0，x₁•x₂ =≥0，這種情況不存在
故關于x的方程ax² +2x+1=0，至少有一個負根的充要條件是a≤1
（2）∵任意實數x∈R滿足不等式x²+2ax+1≥0，
∴△=4a²-4≤0
∴-1≤a≤1
若命題“p或q”為真，命題“p且q”為假時，則p、q一真一假
①p真q假，，∴a＜-1
②p假q真，，∴a不存在
綜上知，a＜-1
分析：（1）首先我們要分析當a=0時，方程是否有負根，再分析當a≠0時，方程存在負根的情況，綜合即可得到結論．
（2）求出命題q是真命題的條件，然后根據已知p或q是真命題，p且q是假命題，則命題p和q必為一真一假，從而可求實數a的取值范圍．
點評：此題主要考查命題的真假性問題，其中涉及到一元二次方程根的分布和判別式的應用，屬于基礎題目．