Question

已知命題P：方程a²x²+ax-2=0在[-1，1]上有解，命題Q：不等式x+|x-2a|＞1的解集為R，如果P，Q中有且僅有一個正確，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：首先解出兩個命題成立時對應的a的范圍，再依據P，Q中有且僅有一個正確正確的條件，解出符合條件的a的范圍．

解答：解：對于命題P：a²x²+ax-2=0可變為（ax+2）×（ax-1）=0，當a=0時方程無意義，故a不為0，由此可解得方程的根為x=-

2

a

或x=

1

a

當-

2

a

∈[-1，1]時，必有

1

a

∈[-1，1]，故只需

1

a

∈[-1，1]成立即可，解得a≥1或a≤-1
對于命題Q：不等式x+|x-2a|＞1可以變為|x-2a|＞1-x，考察不等式兩邊表達式對應的函數圖象，如圖只需2a＞1，即a＞

1

2

∵P，Q中有且僅有一個正確
若P真Q假則可得a≤-1
若P假Q真，則可得

1

2

＜a＜1
綜上，當a≤-1或

1

2

＜a＜1時P，Q中有且僅有一個正確
答：a≤-1或

1

2

＜a＜1

點評：本題考點是命題真假性的判斷，此類題考試方式經常與不等式或者方程有解等知識一起出現，其特征是大的判斷是命題的真假性與命題的關系，細節上是解方程等．