Question

已知兩定點M（-1，0），N（1，0）若直線上存在點P，使得|PO|²=|PM|•|PN|（O為坐標原點），則該直線為“A型直線”．給出
下列直線，其中是“A型直線”的是（　　）
①y=x+1   
②x=

1

2

③y=-x+3
④y=-2x+3．

A．①④

B．①③

C．②③④

D．①③④

Answer 1

分析：設(shè)P（x，y），根據(jù)|PO|²=|PM|•|PN|和兩點的距離公式算出x²-y²=1，從而得到點P的軌跡是焦點在x軸上的等軸雙曲線．由此，再判斷①②③④中的直線與雙曲線x²-y²=1是否有交點，即可得到“A型直線”的條數(shù)，得到本題的答案．

解答：解：設(shè)P（x，y），可得|PO|²=x²+y²，
|PM|=

(x+1)2+y2

，|PN|=

(x-1)2+y2

∵|PO|²=|PM|•|PN|，
∴x²+y²=

(x+1)2+y2

•

(x-1)2+y2

，
化簡整理，得x²-y²=1
∴點P的軌跡是x²-y²=1，是焦點在x軸上的等軸雙曲線
對于①，因為直線y=x+1與雙曲線x²-y²=1的漸近線y=x平行，
所以直線y=x+1與雙曲線x²-y²=1必定有一個交點，
即存在點P，使得y=x+1是“A型直線”；
對于②，因為直線x=

1

2

過雙曲線虛軸上一點與軸虛垂直，所以直線x=

1

2

與雙曲線x²-y²=1沒有交點
故不存在點P，使得x=

1

2

是“A型直線”；
對于③，因為直線y=-x+3與雙曲線x²-y²=1的漸近線y=-x平行，所以直線y=-x+3與雙曲線x²-y²=1必定有一個交點，
即存在點P，使得y=-x+3是“A型直線”；
對于④，因為直線y=-2x+3經(jīng)過x軸上點（

3

2

，0），該點在雙曲線x²-y²=1的張口以內(nèi)
所以直線y=-2x+3與雙曲線x²-y²=1必定有一個交點，即存在點P，使得y=-x+3是“A型直線”
綜上所述，滿足是“A型直線”的有①③④，共3個
故選：D

點評：本題給出滿足條件的動點的軌跡，叫我們尋找“A型直線”的條數(shù)．著重考查了動點軌跡的求法、雙曲線的幾何性質(zhì)和直線與雙曲線位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．