Question

（2013•珠海二模）已知兩定點(diǎn)M（-1，0），N（1，0），若直線上存在點(diǎn)P，使得|PM|+|PN|=4，則該直線為“A型直線”．給出下列直線，其中是“A型直線”的是

①④

．
①y=x+1  ②y=2  ③y=-x+3 ④y=-2x+3．

Answer 1

分析：點(diǎn)P的軌跡方程是

x2

4

+

y2

3

=1，把①，②，③，④分別和

x2

4

+

y2

3

=1聯(lián)立方程組，如果方程組有解，則這條直線就是“A型直線”．

解答：解：由題意可知，點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的橢圓，其方程是

x2

4

+

y2

3

=1，
①把y=x+1代入

x2

4

+

y2

3

=1并整理得，7x²+8x-8=0，∵△=8²-4×7×（-8）＞0，∴y=x+1是“A型直線”；
②把y=2代入

x2

4

+

y2

3

=1，得

x2

4

=-

1

3

不成立，∴y=2不是“A型直線”；
③把y=-x+3代入

x2

4

+

y2

3

=1并整理得，7x²-24x+24=0，△=（-24）²-4×7×24＜0，∴y=-x+3不是“A型直線”；
④把y=-2x+3代入

x2

4

+

y2

3

=1并整理得，19x²-48x+24=0，∵△=（-48）²-4×19×24＞0，∴y=-2x+3是“A型直線”．
答案：①④．

點(diǎn)評：本題是新定義題，考查了橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法及方程思想方法，解答此題的關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為判斷直線方程與橢圓方程聯(lián)立的方程組是否有解，屬中檔題．