Question

【題目】（本小題滿分12分）已知橢圓短軸的兩個頂點與右焦點的連線構成等邊三角形，直線與圓相切.

（1）求橢圓的方程;

（2）已知橢圓的左頂點的兩條直線分別交橢圓于兩點,且,求證:直線過定點,并求出定點坐標；

（3）在（2）的條件下求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）;（2）過定點，證明見解析；（3）

【解析】

試題分析：（1）由已知列出方程組，解出的值即可；（2）設，

,聯立直線與橢圓組成的方程組，求出點與點，當時，過點直線過定點過定點，當時，直線過定點過定點，所以可得直線過定點；（3）由（2）寫出三角形的面積表達式,由基本不等式可求其最大值.

試題解析：（1）由題意 即

（2）設，

由得

同理

i）時，過定點

ii）時過點過定點

（3）由（2）知

令時取等號時去等號，