Question

6．6名教師被隨機地平均分配到甲、乙、丙三個不同學校進行調研，且學校甲至少有一名男教師的概率是$\frac{3}{5}$．
（Ⅰ）求6名教師中男、女教師各幾人；
（Ⅱ）求學校乙恰好男、女教師各一人的概率；
（Ⅲ）設隨機變量ζ表示在學校丙的男教師的人數，求ζ的分布列及期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用對立事件的概率公式，列方程求出男、女教師的人數；
（Ⅱ）計算學校乙恰好男、女教師各1人的概率值；
（Ⅲ）由題意知ζ的所有可能值，計算對應的概率，寫出ξ的分布列，計算數學期望值．

解答 解：（Ⅰ）記至少有一名男教師被分到學校甲為事件A，則A的對立事件為“沒有男教師分到學校甲”，
設有男教師x人，則1≤x≤6，那么P（A）=1-$\frac{{C}_{6-x}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，
解得x=2，即男教師2人，女教師4人；
（Ⅱ）記學校乙恰好男、女教師各1人為事件E，
那么P（E）=$\frac{{C}_{2}^{1}{•C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，
所以學校乙恰好男、女教師各一人的概率為$\frac{8}{15}$；
（Ⅲ）設隨機變量ζ表示在學校丙的男教師的人數，
則ζ的所有可能取值為0，1，2；
且P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{2}{5}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{•C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，
P（ξ=2）=$\frac{1}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$；
所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	$\frac{2}{5}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{15}$

數學期望為E（ξ）=0×$\frac{2}{5}$+1×$\frac{8}{15}$+2×$\frac{1}{15}$=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了古典概型的概率以及離散型隨機變量的分布列和數學期望的計算問題，是中檔題．