Question

已知S_n是數列{}的前n項和，
（1）分別計算S₂-S₁，S₄-S₂，S₈-S₄的值；
（2）證明：當n≥1時，≥，并指出等號成立條件；
（3）利用（2）的結論，找出一個適當的T∈N，使得S_T＞2010；
（4）是否存在關于正整數n的函數f（n），使得S₁+S₂+…+S_n-1=f（n）（S_n-1）對于大于1的正整數n都成立？證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）較為簡單，代入可計算；
（2）由（1）可猜想（2）的結論也是成立的，證明時要適當的放縮每一項（共2^n-1項）都縮小為，
（3）的解答可由（2）的結論想到：新數列S₂-S₁，S₄-S₂，S₈-S₄…中每一項的值都大于等于，那么4018項的和為2009，于是對于數列{a_n}中連同a₁就有2⁴⁰¹⁹項，即a₁+＞1+2009=2010．
（4）可利用數學歸納法，思路是利用n=1，2時的結論猜想命題成立，然后用歸納法證明即可，關鍵是如何利用好歸納假設．
解答：解：
（1）S₂-S₁=，
S₄-S₂=，
S₈-S₄=．（2分）
（2）當n≥1時，=+…+（共2^n-1項）
≥×2^n-1=，當且僅當n=1時，等號成立．（4分）
（3）由于S₁=1，當n≥1時，≥，
于是，要使得S_T＞2010，只需＞2009．
將按照第一組2¹項，第二組2²項，，第n組2ⁿ項的方式分組（6分）
由（2）可知，每一組的和不小于，且只有n=1時等于，
將這樣的分組連續取2×2009組，加上a₁，共有2⁴⁰¹⁹項，
這2⁴⁰¹⁹項之和一定大于1+2009=2010，
故只需T=2⁴⁰¹⁹，就能使得S_T＞2010；（8分）
（注：只要取出的T不小于2⁴⁰¹⁵，并說出相應理由，都給滿分）
（4）設這樣的f（n）存在，n=2時，
有1=⇒f（2）=2，n=3時，有=⇒f（3）=3，
猜測f（n）=n（n≥2）．下面用數學歸納法證明：
①n=2，3時，上面已證，猜測正確；
②設n=k（k≥2）時，f（n）=k即S₁+S₂++S_n-1=k（S_k-1）成立
則S₁+S₂++S_n-1+S_k=k（S_k-1）+S_k
=（k+1）S_k-k
=
=（k+1）（S_k+1-1）．
即n=（k+1）時，猜測也正確．
綜上所述，存在f（n）=n，使得S₁+S₂++S_n-1=f（n）（S_n-1）對于大于1的正整數都成立（13分）
點評：本題考查了數列前n項和的概念，不等式恒成立問題，數學歸納法的應用，合理猜想與邏輯推理的概念．對不等式的考查有一定的難度，綜合性較強，需要同學有深厚的功底才能勝任本題的解答，對數學歸納法的考查較深．