Question

已知S_n是數列{a_n}的前n項和，a_n=S_n-1+2（n≥2），a₁=2．
（1）證明{a_n}是等比數列，并求{a_n}的通項公式；
（2）已知T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n=S_n-1+2可得a_n+1=S_n+2，當n≥2時，a_n+1-a_n=S_n-S_n-1=a_n，結合=2a₁可得a_n+1=2a_n對應任意的n≥1都成立；
（2）由T_n=1×2+2×4+3×8+…+n•2ⁿ考慮利用錯位相減可求答案．

解答：解：（1）∵a_n=S_n-1+2（n≥2）
∴a_n+1=S_n+2
當n≥2時，a_n+1-a_n=S_n-S_n-1=a_n
∴a_n+1=2a_n
∵a₂=S₁+2=4=2a₁
∴a_n+1=2a_n對應任意的n≥1都成立
∴數列為等比數列首項為2公比為2，a_n=2ⁿ
（2）∵T_n=a₁+2a₂+…+na_n
∴T_n=1×2+2×4+3×8+…+n•2ⁿ
∴2T_n=1×4+2×8+…+n•2ⁿ⁺¹
兩式相減可得，-T_n=2+4+8+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1
∴T_n=（n-2）•2ⁿ⁺¹+2

點評：本題主要考查了由數列的遞推公式求解數列的通項公式及等比數列的定義在證明等比 數列中的應用，解答本題的難點在與錯誤相減求數列的和．