Question

已知拋物線的準線與x軸交于點M，過點M作圓的兩條切線，切點為A、B，.

（1）求拋物線E的方程；

（2）過拋物線E上的點N作圓C的兩條切線，切點分別為P、Q，若P，Q，O（O為原點）三點共線，求點N的坐標.

 

Answer 1

（1）y2＝4x；（2）點N坐標為或.

【解析】

試題分析：本題主要考查拋物線的標準方程及其幾何性質、圓的標準方程及其幾何性質、圓的切線的性質等基礎知識，考查學生分析問題解決問題的能力和計算能力.第一問，利用拋物線的準線，得到M點的坐標，利用圓的方程得到圓心C的坐標，在中，可求出，在中，利用相似三角形進行角的轉換，得到的長，而，從而解出P的值，即得到拋物線的標準方程；第二問，設出N點的坐標,利用N、C點坐標寫出圓C的方程，利用點C的坐標寫出圓C的方程，兩方程聯立，由于P、Q是兩圓的公共點，所以聯立得到的方程即為直線PQ的方程，而O點在直線上，代入點O的坐標，即可得到s、t的值，即得到N點坐標.

試題解析：（1）由已知得，C(2，0)．

設AB與x軸交于點R，由圓的對稱性可知，．

于是，

所以，即，p＝2．

故拋物線E的方程為y2＝4x． 5分

（2）設N(s，t)．

P，Q是NC為直徑的圓D與圓C的兩交點．

圓D方程為，

即x2＋y2－(s＋2)x－ty＋2s＝0． ①

又圓C方程為x2＋y2－4x＋3＝0． ②

②－①得(s－2)x＋ty＋3－2s＝0． ③ 9分

P，Q兩點坐標是方程①和②的解，也是方程③的解，從而③為直線PQ的方程．

因為直線PQ經過點O，所以3－2s＝0，．

故點N坐標為或． 12分

考點：拋物線的標準方程及其幾何性質、圓的標準方程及其幾何性質、圓的切線的性質.