Question

4．如圖所示，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E是側棱BB₁的中點．過點A₁，D₁，E的平面α與此長方體的面相交，交線圍成一個四邊形．
（Ⅰ）請在圖中作出此四邊形（簡要說明畫法）；
（Ⅱ）證明AE⊥平面α．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取CC₁中點F，連結A₁E，EF，FD₁，則四邊形A₁EFD₁即為所求四邊形．
（Ⅱ）推導出A₁E⊥AE，AE⊥A₁D₁，由此能證明AE⊥平面α．

解答 解：（Ⅰ）取CC₁中點F，連結A₁E，EF，FD₁，
則四邊形A₁EFD₁即為所求四邊形．（其它做法請酌情給分）…（4分）
證明：（Ⅱ）∵E為BB₁中點，∴B₁E=BE=1，A₁E=AE=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
又∵AA₁=2，∴$A{{A}_{1}}^{2}$=${A}_{1}{E}^{2}+A{E}^{2}$，
∴A₁E⊥AE，…（6分）
又∵A₁D₁⊥平面ABB₁A₁，AE?平面ABB₁A₁
∴AE⊥A₁D₁，…（8分）
又∵A₁E?平面A₁EFD₁，A₁D₁?平面A₁EFD₁，A₁E∩A₁D₁=A₁，
∴AE⊥平面A₁EFD₁，∴AE⊥平面α．…（12分）

點評 本題考查圖形有畫法，考查線面垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．