Question

設函數(shù)f(x)=

1

2

x2-(a2-2a-1)x+3(x∈R)，
（1）當a=2，-2≤x≤2時，求f（x）的值域；
（2）若f（x）在x∈（-1，2）上是單調函數(shù)，求實數(shù)a的范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=2，-2≤x≤2時，f（x）=

1

2

x2+x+3=

1

2

(x+1)2+

5

2

，由此能求出f（x）的值域．
（2）f(x)=

1

2

x2-(a2-2a-1)x+3(x∈R)的對稱軸方程是x=a²-2a-1，由f（x）在x∈（-1，2）上是單調函數(shù)，知a²-2a-1≥2或a²-2a-1≤-1，由此能求出實數(shù)a的范圍．

解答：解：（1）當a=2，-2≤x≤2時，
f（x）=

1

2

x2+x+3=

1

2

(x+1)2+

5

2

，
∴當x=-1時，f(x)min=

5

2

，
當x=2時，f（x）_max=7，
∴當a=2，-2≤x≤2時，f（x）的值域是[

5

2

，7]．
（2）∵f(x)=

1

2

x2-(a2-2a-1)x+3(x∈R)的對稱軸方程是x=a²-2a-1，
f（x）在x∈（-1，2）上是單調函數(shù)，
∴a²-2a-1≥2或a²-2a-1≤-1，
解得a≤-1，或0≤a≤2，或a≥3．
即實數(shù)a的范圍是（-∞，-1]∪[0，2]∪[3，+∞）．

點評：本題考查函數(shù)的值域和實數(shù)a的取值范圍，是基礎題．解題時要認真審題，注意二次函數(shù)的性質和配方法的靈活運用．