Question

【題目】已知函數 f（x）=2lnx+x2﹣ax． （Ⅰ）當a=5時，求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）是曲線y=f（x）圖象上的兩個相異的點，若直線AB的斜率k＞1恒成立，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）設函數f（x）有兩個極值點x1 ， x2 ， x1＜x2且x2＞e，若f（x1）﹣f（x2）≥m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當a=5時，f（x）=2lnx+x2﹣5x．求導，

f′（x）= = ，（x＞0），

令f′（x）＞0，解得：x＞2或0＜x＜ ，

令f′（x）＜0，解得： ＜x＜2，

∴f（x）的單調遞增區間（0， ），（2，+∞）；f（x）的單調遞減區間（ ，2）；

（Ⅱ）由題意可知：k= ＞1，∴ ＞0，

令g（x）=f（x）﹣x，則g（x）在（0，+∞）上單調遞增，

∴g′（x）=f′（x）﹣1≥0，

∴ ﹣1≥0在（0，+∞）上恒成立，

∴a≤2x+ ﹣1在（0，+∞）上恒成立，

∵2x+ ≥4，x=1時取等號，

∴a≤3；

（Ⅲ）∵x1+x2= ，x1x2=1，∴a=2（x1+x2），x2= ，

∴f（x1）﹣f（x2）=（2lnx1+x12﹣ax1）﹣（2lnx2+x22﹣ax2）= ﹣x12+2lnx12，

令x12=x，則0＜x＜ ，g（x）= ﹣x﹣2lnx，

∴g′（x）=﹣ ＜0，

∴g（x）在（0， ）上單調遞減，

∴g（x）＞g（ ）= ﹣4，

∴m≤ ﹣4．

【解析】（Ⅰ）當a=5時，f（x）=2lnx+x2﹣5x．求導，利用導數的正負求f（x）的單調區間；（Ⅱ）由題意可知：k= ＞1， ＞0，構造函數，確定函數的單調性，分離參數，即可求實數a的取值范圍；（Ⅲ）f（x1）﹣f（x2）=（2lnx1+x12﹣ax1）﹣（2lnx2+x22﹣ax2）= ﹣x12+2lnx12，令x12=x，則0＜x＜ ，g（x）= ﹣x﹣2lnx，求導，確定函數的單調性，求最值，即可求實數m的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能得出正確答案．