Question

11．已知函數f（x）=|tx-2|-|tx+1|，a∈R．
（1）當t=1時，解不等式f（x）≤1；
（2）若對任意實數t，f（x）的最大值恒為m，求證：對任意正數a，b，c，當a+b+c=m時，$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$≤m．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的分段函數的形式，求出f（x）的最大值，求出不等式的解集即可；
（2）根據絕對值不等式的性質求出m的值，結合不等式的性質證明即可．

解答 解：（1）t=1時，f（x）=|x-2|-|x+1|，
$f（x）=\left\{\begin{array}{l}3，x＜-1\\-2x+1，1≤x＜2\\-3\end{array}\right.$，
所以f（x）≤1，
故不等式的解集為[0，+∞）
（2）由絕對值不等式得||tx-2|-|tx+1|≤|（tx-2）-（tx+1）||=3，
所以f（x）最大值為3，故m=3，
故$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$≤$\sqrt{1•a}$+$\sqrt{1•b}$+$\sqrt{1•c}$
≤$\frac{1+a}{2}$+$\frac{1+b}{2}$+$\frac{1+c}{2}$=$\frac{3+a+b+c}{2}$=3，
當且僅當a=b=c=1時等號成立，
故原結論成立．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想以及轉化思想，是一道中檔題．