Question

（本小題12分）如圖7，已知圓，設(shè)A為圓C與x軸負半軸的交點，過點A作圓C的弦AM，并使弦AM的中點恰好落在y軸上.

（1）當在內(nèi)變化時，求點M的軌跡E的方程；

（2）已知定點P（-1，1）和Q（1，0），設(shè)直線PM、QM與軌跡E的另一個交點分別是M1、M2 . 求證：當M點在軌跡E上變動時，只要M1、M2都存在且M1M2，則直線M1M2恒過一個定點，并求出這個定點。

Answer 1

（1）；（2） .

【解析】

試題分析：（1）設(shè)M（x，y），則AM的中點．利用CD⊥DM，建立方程，由此能求出點M的軌跡E的方程．

（2）設(shè)的坐標分別為，其中且．由共線得； 由Q，M，M2共線得，可得t1t2=﹣，t1+t2=，求出直線M1M2的方程，即可得出結(jié)論．

試題解析：（1）設(shè)M（x，y），則AM的中點．

因為C（1，0），，

在⊙C中，因為CD⊥DM，所以．

所以，點M的軌跡E的方程為：．

（2）設(shè)M，M1，M2的坐標分別為，其中且．

由P，M，M1共線得；

由Q，M，M2共線得．

∴t1t2=﹣，t1+t2=

∴直線M1M2的方程為，即t2（y﹣4x）+2t（x+1）+（y+4）=0，

∴，

∴x=﹣1，y=﹣4，

∴直線M1M2恒過一個定點．

考點：圓錐曲線的軌跡問題..