Question

10．已知函數f（x）=ax-lnx，函數g（x）=$\frac{1}{3}b{x}^{3}$-bx，a∈R，b∈R且b≠0．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）若a=1，且對任意的x₁（1，2），總存在x₂∈（1，2），使f（x₁）+g（x₂）=0成立，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先確定函數f（x）的定義域，然后對函數f（x）求導，根據導函數大于0時原函數單調遞增，導函數小于0時原函數單調遞減求出單調區間．
（2）分別表示出函數h（x）=-f（x）、g（x）的值域，根據f（x）的值域應為g（x）的值域的子集可得答案．

解答 解：（1）f（x）=lnx-ax，
∴x＞0，即函數f（x）的定義域為（0，+∞）
∴當a≤0時，f（x）在（0，+∞）上是增函數
當a＞0時，∵f'（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$，
∵f′（x）＞0，則1-ax＞0，ax＜1，x＜$\frac{1}{a}$，f′（x）＜0，則1-ax＜0，ax＞1，
x＞$\frac{1}{a}$即當a＞0時f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上是增函數，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上是減函數．
（2）則由已知，對于任意的x₁∈（1，2），總存在x₂∈（1，2），
使-f（x₁）=g（x₂），
設h（x）=-f（x）在（1，2）的值域為A，g（x）在（1，2）的值域為B，
得A⊆B
由（1）知a=1時，h′（x）=$\frac{1-x}{x}$＜0在（1，2）1上是減函數，
∴h（x）在x∈（1，2）上單調遞減，
∴h（x）的值域為A=（ln2-2，-1）
∵g'（x）=bx²-b=b（x-1）（x+1）
∴（i）當b＜0時，g（x）在（1，2）上是減函數，
此時，g（x）的值域為B=（$\frac{2}{3}$b，-$\frac{2}{3}$b）
為滿足A⊆B，又-$\frac{2}{3}$b≥0＞-1
∴$\frac{2}{3}$b≤ln2-2．即b≤$\frac{3}{2}$ln2-3．
（ii）當b＞0時，g（x）在（1，2）上是單調遞增函數，
此時，g（x）的值域為B=（-$\frac{2}{3}$b，$\frac{2}{3}$b）
為滿足A⊆B，又$\frac{2}{3}$b≥0＞-1．
∴-$\frac{2}{3}$b≤ln2-2
∴b≥-$\frac{3}{2}$（ln2-2）=3-$\frac{3}{2}$ln2，
綜上可知b的取值范圍是（-∞，$\frac{3}{2}$ln2-3]∪[3-$\frac{3}{2}$ln2，+∞）．

點評 本題主要考查函數單調性與其導函數的正負之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．