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已知M是△ABC內的一點（不含邊界），且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面積分別為x，y，z，則
9
x+y
+
4
z
的最小值是
 
．
考點：平面向量數量積的運算,基本不等式
專題：平面向量及應用
分析：利用數量積運算與三角形的面積計算公式可得x+y+z=1，再利用“乘1法”與基本不等式的性質即可得出．
解答： 解：∵
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，
∴bccos30°=2
3
，
化為bc=4．
∴S△ABC=
1
2
bcsin30°=1．
∴x+y+z=1．
∴
9
x+y
+
4
z
=（x+y+z）(
9
x+y
+
4
z
)=13+
9z
x+y
+
4(x+y)
z
≥13+2
9z
x+y
•
4(x+y)
z
=25，當且僅當3z=2（x+y）=
6
5
時取等號．
∴
9
x+y
+
4
z
的最小值是25．
故答案為：25．
點評：本題考查了數量積運算與三角形的面積計算公式、“乘1法”與基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

若
OP1
=
a
，
OP2
=
b
且
P1P
=λ
PP2
（λ≠-1），試用
a
，
b
表示
OP
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

函數f（x）=lnx+
1
2
的零點所在的區間是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線
x2
4
-
y2
5
=1上一點M的橫坐標為3，則點M到此雙曲線的左焦點距離為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知雙曲線x2-
y2
b2
=1（b＞0）的右頂點A，若該雙曲線右支上存在兩點B，C使得△ABC為等腰直角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知F1，F2是橢圓
x2
4
+y2=1的兩個焦點，P是橢圓上在第一象限內的點，當△F1PF2的面積為
3
2
，則
PF1
•
PF2
=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長都是1，且夾角都是60°，則相對的面AD1與面BC1的距離為（　　）
A、
1
3
B、
3
3
C、
6
6
D、
6
3

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知正三棱錐V-ABC的正視圖、側視圖和俯視圖如圖所示．
（1）畫出該三棱錐的直觀圖；
（2）求出側視圖的面積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

2013年國家加大了對環境污染監測力度，為此某市環保部門在市里的一條污水河的橋孔處進行了隔離封閉改造，橋孔的橫斷面為拋物線形（如下圖所示），已知水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米，則水上升0.5米后，水面寬變為
 
米．

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