Question

2．已知函數f（x）=alnx+bx（a，b∈R）在點（1，f（1））處的切線方程為x-2y-2=0．
（1）求a、b的值；
（2）當x≥1時，f（x）+$\frac{k}{x}$＜0恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導數得f′（x）=$\frac{a}{x}$+b，由導數幾何意義得曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為k=f′（1）=$\frac{1}{2}$，且f（1）=$\frac{1}{2}$，聯立方程組，求出a，b的值即可．
（2）由（1）知，不等式等價于lnx-$\frac{x}{2}$+$\frac{k}{x}$＜0，參變分離為k＜$\frac{{x}^{2}}{2}$-xlnx，利用導數求右側函數的最小值即可．

解答 解：（1）∵f（x）=alnx+bx，∴f′（x）=$\frac{a}{x}$+b．
∵直線x-2y-2=0的斜率為$\frac{1}{2}$，且曲線y=f（x）過點（1，f（1）），
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=-\frac{1}{2}}\\{f′（1）=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$即 $\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{1}{2}}\\{a+b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=-$\frac{1}{2}$；                        
（2）由（1）得當x＞1時，f（x）+$\frac{k}{x}$＜0恒成立，
即lnx-$\frac{x}{2}$+$\frac{k}{x}$＜0，等價于k＜$\frac{{x}^{2}}{2}$-xlnx．
令g（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$-xlnx，則g′（x）=x-1-lnx．
令h（x）=x-1-lnx，則h′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
當x＞1時，h′（x）＞0，函數h（x）在（1，+∞）上單調遞增，故h（x）＞h（1）=0．
從而，當x＞1時，g′（x）＞0，即函數g（x）在（1，+∞）上單調遞增，
故g（x）＞g（1）=$\frac{1}{2}$，
因此，當x＞1時，k＜$\frac{{x}^{2}}{2}$-xlnx恒成立，則k≤$\frac{1}{2}$
∴k的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{2}$]．

點評 本題考查了導數的綜合應用：求切線方程和求單調區間、極值和最值，及恒成立問題的應用，屬于中檔題．