Question

13．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{1-{x^2}}，-1≤x≤1\\-x，x＜-1或x＞1\end{array}$，且函數g（x）=f（x）-kx+2k有三個不同的零點，則實數k的取值范圍是（　　）

• A． $-\frac{{\sqrt{3}}}{3}≤k≤0$
• B． $k≤-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$或$k=-\frac{1}{3}$
• C． $-\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜K＜-\frac{1}{3}$
• D． $-\frac{{\sqrt{3}}}{3}≤k≤-\frac{1}{3}$或k=0

Answer 1

分析 在同一坐標系中畫出函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{1-{x^2}}，-1≤x≤1\\-x，x＜-1或x＞1\end{array}$的圖象與y=kx-2k的圖象，數形結合，可得答案．

解答 解：函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{1-{x^2}}，-1≤x≤1\\-x，x＜-1或x＞1\end{array}$的圖象如下圖所示：

若函數g（x）=f（x）-kx+2k有三個不同的零點，
則函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{1-{x^2}}，-1≤x≤1\\-x，x＜-1或x＞1\end{array}$的圖象與y=kx-2k的圖象有三個交點，
當y=kx-2k過（-1，1），即k=-$\frac{1}{3}$時，兩函數圖象有兩個交點，
當y=kx-2k與半圓相切，即k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$時，兩函數圖象有兩個交點，
故$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜K＜-\frac{1}{3}$，
故選：C

點評 本題考查的知識點是函數的零點與方程的根，數形結合思想，難度中檔．